Seminar delivered by students of B.Sc.-III

Mathematics Puzzle

 चार चोर राजमहालातुन काही सोन्याच्या नाण्यांची चोरी करतात. ठरलेल्या अड्ड्यावर एकत्र जमायचे आणि सकाळी नाण्यांची वाटणी करायची असे ठरते.

रात्री एक चोर उठून चोरलेल्या नाण्याचे चार समान भाग करतो एक नाणे शिल्लक राहते, तो ते एक नाणे फेकून देतो. व चार पैकी एक भाग स्वतःकडे ठेवतो राहीलेले तीन भाग पोठडीत ठेवतो.

थोड्यावेळाने दुसरा चोर उठून चोरलेल्या नाण्याचे चार समान भाग करतो एक नाणे शिल्लक राहते, तो ते एक नाणे फेकून देतो. व चार पैकी एक भाग स्वतःकडे ठेवतो राहीलेले तीन भाग पोठडीत ठेवतो.

काहीवेळाने तिसरा चोर उठून उरलेल्या नाण्याचे चार समान भाग करतो एक नाणे शिल्लक राहते, तो ते एक नाणे फेकून देतो. व चार पैकी एक भाग स्वतःकडे ठेवतो राहीलेले तीन भाग पोठडीत ठेवतो.

नंतर चौथा चोर उठून उरलेल्या नाण्याचे चार समान भाग करतो एक नाणे शिल्लक राहते, तो ते एक नाणे फेकून देतो. व चार पैकी एक भाग स्वतःकडे ठेवतो राहीलेले तीन भाग पोठडीत ठेवतो.

ठरल्याप्रमाणे सकाळी  पोठडीतील नाण्यांची समान चार भागात वाटणी करतात प्रत्येकाला समसमान नाणी वाटुन येतात.

 तर त्यांनी एकूण चोरलेली नाणी किती?

Four thieves steal some gold coins from the palace. It was decided to gather at the appointed place and distribute coins in the morning.

At night a thief gets up and divides the stolen coin into four equal parts. One coin remains, he throws it away. He keeps one part out of four and keeps the remaining three parts in a basket.

After a while, another thief divides the coin into four equal parts, leaving one coin left. He throws it away. He keeps one part out of four and keeps the remaining three parts in a basket.

Sometimes a third thief divides the coin into four equal parts, leaving a coin left, and he throws it away. He keeps one part out of four and keeps the remaining three parts in a basket.

Then the fourth thief divides the coin into four equal parts, leaving one coin left, and he throws it away. He keeps one part out of four and keeps the remaining three parts in a basket.

In the morning, the coins in the pot are divided into four equal parts as per the schedule.


So what is the total Number of coins they have stolen?

ल.सा.वि.आणि म.सा.वि. for OPEN ELECTIVE

 

ल.सा.वि.आणि म.सा.वि.

 ल.सा.वि. (लघुत्तम साधारण विभाज्य) :-

शेकडेवारी

• ल.सा.वि. म्हणजे लघुत्तम साधारण विभाज्य संख्या (LCM) दिलेल्या संख्यानी ज्या लहांनात लहान संख्येला पूर्ण भाग जातो ती संख्या म्हणजे त्यांचा ल.सा.वि. होय
• ल.सा.वि. हा दिलेल्या संख्यांपेक्षा नेहमी मोठी संख्यांच असते.
• उदा. 12 व 18 चा ल.सा.वि. 36.

      12 = 2×6 = 2×2×3 

         18 = 2×9 = 2×3×3  

                        = 2×2×3×3

म.सा.वि. (महत्तम साधारण विभाजक) :-

• म.सा.वि. म्हणजे महत्तम साधारण विभाजक संख्या (HCM) दिलेल्या संख्यांना ज्या मोठयात मोठया संख्येने (विभाजकाने) भाग जातो ती संख्या अथवा तो विभाजक म्हणजे त्यांचा म.सा.वि. होय.
• म.सा.वि. हा दिलेल्या संख्यांपेक्षा नेहमी लहान संख्याच असते.
• उदा. 12 व 18 चा म.सा.वि. = 6
        12 = 2×2×3     

         18 = 2×3×3     

             = 2×3

             = 6 

• दोन संख्यांचा गुणाकार = ल.सा.वि. × म.सा.वि
• ल.सा.वि. = दोन संख्यांचा गुणाकार / म.सा.वि.
• म.सा.वि. = दोन संख्यांचा गुणाकार / ल.सा.वि.
• पहली संख्या = ल.सा.वि. × म.सा.वि. / दुसरी संख्या
• दुसरी संख्या = ल.सा.वि. × म.सा.वि. / पहिली संख्या
• दोन संख्यांतील असामाईक अवयवांचा गुणाकार = ल.सा.वि. / म.सा.वि.
• दोन संख्यांपैकी लहान संख्या = म.सा.वि. × लहान असामाईक अवयव
• दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = म.सा.वि. × मोठी असामाईक अवयव
• व्यवहारी अपूर्णांकांचा ल.सा.वि. = अंशांचा ल.सा.वि./ छेदांचा म.सा.वि.

उदा. 2/5, 4/10, 6/15     

यांचा ल.सा.वि. = 2, 4, 6 चा ल.सा.वि. / 5,10,15 चा म.सा.वि. = 12/5

 नमूना पहिला –

दोन संख्यांना ल.सा.वि. 192 व म.सा.वि. 16 आहे. त्यापैकी एक संख्या 64 असल्यास दुसरी संख्या कोणती?

1.     80      2.       48      3.       32      4.       16

उत्तर : 48

क्लृप्ती :-

ल.सा.वि.×म.सा.वि./एक संख्या = दुसरी संख्या, या सूत्रानुसार 192×16/64 = 48

 नमूना दूसरा –

दोन संख्यांचा गुणाकार 3174 असून त्यांचा म.सा.वि. 23 आहे. तर त्या संख्यांचा ल.सा.वि. किती?

1.     134    2.       128    3.       138    4.       118

उत्तर : 138

क्लृप्ती :-

दोन संख्यांच्या गुणाकार/म.सा.वि. = ल.सा.वि. = 3174/23 = 138

क्लृप्ती :-

दोन संख्यांचा गुणाकार/ल.सा.वि. =  म.सा.वि.

 नमूना तिसरा –

दोन संख्यांचा म.सा.वि. 25 व ल.सा.वि. 350 आहे, तर त्यापैकी लहान संख्या कोणती ?

1.     45      2.       175              3.       35                4.      50

उत्तर : 50

क्लृप्ती :-

ल.सा.वि.×म.सा.वि. = दोन संख्यांचा गुणाकार

मोठी संख्या = म.सा.वि. × मोठ्या असमाईक अवयव = 25×7 = 175

लहान संख्या = म.सा.वि. × लहान असमाईक अवयव = 25×2 = 50

सूत्र:-

ल.सा.वि./म.सा.वि.  = असामाईक अवयवांचा गुणाकार

:: 350/25 = 14 = 7×2

 नमूना चौथा –

दोन संख्यांचा गुणाकार 270 व म.सा.वि. 3 आहे, तर त्यापैकी लहान संख्या कोणती?

1.     18                2.       15                3.       12                4.       24

उत्तर : 15

क्लृप्ती :-

गुणाकार./म.सा.वि.  = ल.सा.वि.  270/3 = 90

असमाईक अवयवांचा गुणाकार = ल.सा.वि./म.सा.वि. = 90/3 = 30 = 5×6

लहान संख्या = म.सा.वि. × लहान असामाईक अवयव यावरून लहान संख्या = 5×3 =15

 नमूना पाचवा –

अशी तीन अंकी लहानात लहान संख्या कोणती, कि जिला 5,12 व 15 या संख्यांनी भागल्यास प्रत्येक वेळी 4 उरतात?

1.     120    2.       124    3.       240    4.       180

उत्तर : 124

स्पष्टीकरण :-

5, 12, 15 चा ल.सा.वि. = 60 ही दोन अंकी संख्या आहे.

म्हणून 60×2 = 120+4 = 124 ही तीन अंकी संख्या उत्तर येईल.

 नमूना सहावा –

अशी लहानात लहान संख्या शोधून काढा, कि जिला 12 ने भागल्यास बाकी 5 उरते व 16 ने भागल्यास बाकी 9 उरते आणि 18 ने भागल्यास बाकी 11 उरते?

1.     149    2.       135    3.       137    4.       133

उत्तर : 137

स्पष्टीकरण : –

12, 16 व 18 यांचा ल.सा.वि. = 144

:: 144-7 = 137

[12-5 = 7, 16-9 =7, 18-11 = 7]

 नमूना सातवा –

एका संख्येला 9 ने भागल्यास बाकी 8 उरते व 10 ने भागल्यास बाकी 9 उरते, तर त्या संख्येची दुप्पट किती?

1.     89      2.       180    3.       178    4.       144

उत्तर : 178

स्पष्टीकरण :-

9 व 10 चा ल.सा.वि. = 90

उदाहरणातील माहितीप्रमाणे  

9-8=10-9=1 यानुसार 90-1=89

:: संख्येची दुप्पट

सूत्र :-

अपूर्णाकांचा ल.सा.वि. = अंशांचा ल.सा.वि./छेदांचा म.सा.वि.

 नमूना आठवा –

दोन संख्या अनुक्रमे 4x व 6x असून, त्यांचा म.सा.वि 16 आहे व ल.सा.वि. 96 आहे. तर x = किती ?

1.     16      2.       32      3.       8        4.       12

उत्तर : 8

स्पष्टीकरण :

दोन संख्यांचा गुणाकार = ल.सा.वि. × म.सा.वि.

:: 4x × 6x = 96×16

:: 24×2 = 96×16  x2 = 64